數(shù)學(xué)規(guī)劃思維在經(jīng)濟(jì)分析中具有重要作用。

經(jīng)濟(jì)主體行為大多可以理解并表達(dá)成數(shù)學(xué)規(guī)劃中的最優(yōu)化問題。微觀主體的行為往往是謀求把某件事做到最好，或者說是目標(biāo)函數(shù)最大化或最小化。經(jīng)濟(jì)學(xué)中最典型的假設(shè)是，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)里的企業(yè)和個(gè)人都是謀求自身利益的，勞動(dòng)者謀求自身收入和消費(fèi)效用最大化，同時(shí)在勞動(dòng)和休閑之間也有優(yōu)化選擇。企業(yè)行為最典型的描述是追求利潤(rùn)最大化，大多數(shù)常規(guī)企業(yè)都是這個(gè)目標(biāo)。對(duì)一個(gè)政府而言，往往把GDP作為經(jīng)濟(jì)工作的主要目標(biāo)，中國(guó)現(xiàn)在強(qiáng)調(diào)不能唯GDP論，可考慮修訂后的GDP或含有GDP又比GDP更綜合的目標(biāo)函數(shù)?？傮w而言，經(jīng)濟(jì)主體就是要追求某種最大化。如果用數(shù)學(xué)規(guī)劃來考慮這些問題，會(huì)有很多優(yōu)勢(shì)，有些問題能看得更透徹，并可以從更精確的角度來分析。

經(jīng)濟(jì)學(xué)里用的很多語言都是來自數(shù)學(xué)規(guī)劃?；仡?0世紀(jì)八九十年代中國(guó)的經(jīng)濟(jì)體制討論，最重要的進(jìn)展是黨的十四大提出的“我國(guó)經(jīng)濟(jì)體制改革的目標(biāo)是建立社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制”，而對(duì)社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的主要經(jīng)濟(jì)學(xué)解釋就是資源配置優(yōu)化，用資源配置來論證為什么要搞社會(huì)主義市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)。隨后，黨的十四屆三中全會(huì)提出了“充分利用國(guó)際國(guó)內(nèi)兩個(gè)市場(chǎng)、兩種資源”，也是資源優(yōu)化配置?；仡櫵氖甑慕?jīng)濟(jì)體制改革歷程，早期較多是從直覺出發(fā)搞農(nóng)村聯(lián)產(chǎn)承包責(zé)任制，而更深度的思維則逐步演化到資源優(yōu)化配置。從最優(yōu)化模型角度看，資源優(yōu)化配置和承包責(zé)任制等激勵(lì)機(jī)制之間其實(shí)是一種對(duì)偶關(guān)系，而對(duì)偶問題其實(shí)也就是線性規(guī)劃的拉格朗日乘子問題。

資源配置的約束條件與影子價(jià)格相對(duì)應(yīng)。若要實(shí)現(xiàn)資源優(yōu)化配置，就要把價(jià)格類激勵(lì)機(jī)制搞對(duì)，這兩者互為影子。一個(gè)國(guó)家資源配置的效率與優(yōu)化程度是會(huì)帶來重大區(qū)別的，最主要的資源是指勞動(dòng)力、資本等生產(chǎn)要素，廣義的生產(chǎn)要素還包括技術(shù)、管理、外匯等。資源配置的約束是需求應(yīng)小于等于供給，當(dāng)然供給不足也可以另外想辦法。這些約束可以是緊約束，也可以是松約束。在數(shù)學(xué)規(guī)劃中，若約束條件是松的，則其影子價(jià)格就是零。不少經(jīng)濟(jì)分析報(bào)告里常說某個(gè)約束條件是松弛的（Slack），就是指雖然道理上有約束條件但卻是松的，影子價(jià)格為零。如果是緊的話，其影子價(jià)格就不會(huì)是零，這是數(shù)學(xué)規(guī)劃里給出的規(guī)律。

數(shù)學(xué)規(guī)劃的基本概念

數(shù)學(xué)規(guī)劃是一種尋找最優(yōu)化的方法。典型的線性規(guī)劃基于目標(biāo)函數(shù)和約束條件，尋求目標(biāo)函數(shù)的最大化或最小化的極值。約束條件又可分為等式約束和不等式約束。目標(biāo)函數(shù)與約束條件的表達(dá)分為線性和非線性。比如在宏觀經(jīng)濟(jì)模型中，等式約束可以是生產(chǎn)法GDP或支出法GDP等基本經(jīng)濟(jì)規(guī)律的恒等式；比較典型的不等式約束是勞動(dòng)力、資本等生產(chǎn)要素的供求關(guān)系。

一是線性規(guī)劃，目標(biāo)函數(shù)和約束條件都是線性的，好處是相對(duì)簡(jiǎn)單，有現(xiàn)成可用的計(jì)算機(jī)算法進(jìn)行大規(guī)模線性規(guī)劃求解。但現(xiàn)實(shí)中一些經(jīng)濟(jì)行為可能是非線性的，因此可能出現(xiàn)對(duì)現(xiàn)實(shí)過分簡(jiǎn)化的情形。

二是非線性規(guī)劃，計(jì)算復(fù)雜性大幅提高，且有可能不存在最優(yōu)解，還要看整個(gè)約束條件集合是不是凸集。如果是凸集，那么就存在一種算法可以得出最優(yōu)解；如果不是凸集，就可能不存在惟一最優(yōu)解且不一定能有最優(yōu)解算法。也就是說，不是沿著向上的方向走，就能找到最高點(diǎn)。非線性規(guī)劃有兩種簡(jiǎn)化處理方法：一種是對(duì)數(shù)線性化。一些經(jīng)濟(jì)問題由于是用指數(shù)的形式來描述的，雖然目標(biāo)函數(shù)和約束條件不是線性的，但可以通過對(duì)數(shù)化表達(dá)實(shí)現(xiàn)線性，然后按照線性規(guī)劃的方法去算。另一種是段線性化。整個(gè)問題可能是非線性的，但如果對(duì)其作分段且每一段都可以按線性方式來描述，整合起來后，也可以按線性規(guī)劃的算法進(jìn)行運(yùn)算。

三是動(dòng)態(tài)規(guī)劃。在理論和算法上，動(dòng)態(tài)規(guī)劃思維在處理長(zhǎng)遠(yuǎn)問題時(shí)，可尋求整體過程最優(yōu)，不見得每個(gè)階段是最優(yōu)。當(dāng)前動(dòng)態(tài)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)模型中能夠求得優(yōu)化解的情形還非常有限，動(dòng)態(tài)規(guī)劃概念有兩種用法：一種是將整體過程充分簡(jiǎn)化，找可用的算法去求解；還有一種是不存在直接求解的算法，但可以通過仿真模擬的方法對(duì)動(dòng)態(tài)過程及其結(jié)果進(jìn)行比較分析。

數(shù)學(xué)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)分析中的具體問題

第一個(gè)具體問題就是目標(biāo)函數(shù)。

目標(biāo)函數(shù)非常重要，只有清晰可度量的目標(biāo)函數(shù)，才能評(píng)判事情干得好不好，同時(shí)也能分析出改變?nèi)魏我粋€(gè)約束條件或行為，對(duì)目標(biāo)函數(shù)的成本是多少。例如，發(fā)展經(jīng)濟(jì)過程中要考慮環(huán)境保護(hù)，一項(xiàng)特定的環(huán)保措施要付出多大的GDP當(dāng)期代價(jià)；再如貿(mào)易摩擦又會(huì)產(chǎn)生多大的GDP成本。

現(xiàn)實(shí)中的目標(biāo)函數(shù)往往是多目標(biāo)的。在目標(biāo)函數(shù)表達(dá)中，單目標(biāo)最好理解和計(jì)量。一些國(guó)家的央行曾強(qiáng)調(diào)以通脹為其工作的單一目標(biāo)，但自2008年危機(jī)以來，全球央行基本上都認(rèn)識(shí)到央行不能不管經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)，也不能不管金融穩(wěn)定。此外，金融機(jī)構(gòu)出了風(fēng)險(xiǎn)，還要考慮救不救的問題。近期，美國(guó)又有研究挑戰(zhàn)保爾森（Henry Paulson ）、伯南克（Ben S． Bernanke ），為什么在本輪危機(jī)初期不救雷曼。而后者反復(fù)說過，不救雷曼是因?yàn)槿狈Φ盅浩泛偷赖嘛L(fēng)險(xiǎn)平衡的考慮，之前已經(jīng)救了貝爾斯登、房地美、房利美，馬上又要救AIG，但不能所有的金融機(jī)構(gòu)都救，要避免道德風(fēng)險(xiǎn)，就只能犧牲規(guī)模相對(duì)小一些的金融機(jī)構(gòu)，也就是雷曼。當(dāng)時(shí)也沒預(yù)測(cè)到雷曼倒閉后的震動(dòng)會(huì)有多大?？梢?，單目標(biāo)往往是對(duì)現(xiàn)實(shí)工作目標(biāo)的過分簡(jiǎn)化。

多目標(biāo)如果是線性可加的，技術(shù)上會(huì)類似于單目標(biāo)。比如GDP，看似單目標(biāo)，其實(shí)包含多種商品貨物和服務(wù)，且不論從生產(chǎn)方還是支出方來看，都是以價(jià)格加權(quán)而線性可加，所以不要簡(jiǎn)單認(rèn)為GDP是單目標(biāo)。但當(dāng)人們關(guān)注一些社會(huì)、環(huán)境、道德等目標(biāo)分量時(shí)，多目標(biāo)是否能線性可加就會(huì)成為顯著的挑戰(zhàn)。

機(jī)構(gòu)改革中的目標(biāo)體系。圖盧茲學(xué)派的拉豐（Jean Jacques Laffont ）說過，規(guī)制包括目標(biāo)、度量、激勵(lì)和資源，目標(biāo)在最前面，所以首先要弄清楚目標(biāo)是什么。比如證監(jiān)會(huì)的目標(biāo)，究竟是維護(hù)股指還是保持投融資的公正性，以及保證交易的公平性。如果目標(biāo)不清楚的話，就沒法度量這個(gè)機(jī)構(gòu)做得好還是不好；如果度量不清晰，激勵(lì)也往往會(huì)扭曲。在2017年的全國(guó)金融工作會(huì)議中，明確要成立金融穩(wěn)定委員會(huì)，中間就用到了目標(biāo)、度量、激勵(lì)以及資源這個(gè)框架思路。很多人不見得體會(huì)到這些概念和推理實(shí)際上來自數(shù)學(xué)規(guī)劃和機(jī)制分析（Institutional Analysis ）的框架。

多目標(biāo)之間可能存在沖突。多目標(biāo)體系在寫成目標(biāo)函數(shù)表達(dá)式時(shí)，可以發(fā)現(xiàn)有些目標(biāo)在優(yōu)化方向上是一致的，另一些目標(biāo)可能是相互沖突的，這能夠幫助理解兩難或者多難問題。過去，中國(guó)政府曾給貨幣政策指明有四大目標(biāo)，分別是低通貨膨脹、經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)、促進(jìn)就業(yè)和國(guó)際收支大體平衡，后來又加上了推動(dòng)改革開放和保持金融穩(wěn)定。其中，經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和促進(jìn)就業(yè)的重疊度是相當(dāng)高的，有沖突的目標(biāo)就是經(jīng)濟(jì)增長(zhǎng)和低通脹，但并不完全沖突。一旦寫出目標(biāo)函數(shù)，就可能發(fā)現(xiàn)沖突的目標(biāo)不能夠同時(shí)達(dá)到?！懊纱鸂柸恰北砻?，貨幣政策獨(dú)立性、匯率穩(wěn)定和資本自由流動(dòng)三個(gè)目標(biāo)不能同時(shí)達(dá)到，因?yàn)檫@三個(gè)目標(biāo)是沖突的。當(dāng)然，“蒙代爾三角”對(duì)現(xiàn)實(shí)的描述相對(duì)簡(jiǎn)化，實(shí)踐中的匯率穩(wěn)定和資本項(xiàng)目可兌換的定位可能并不那么理想化和單純，但這個(gè)思路對(duì)決策者很有好處，它告訴決策者對(duì)于存在沖突的目標(biāo)要有所取舍。應(yīng)當(dāng)看到，現(xiàn)實(shí)中存在不少?zèng)_突目標(biāo)的事，多數(shù)情況下是兩難決策，蒙代爾是三取二，可能還有四取三、五取四的情況，可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃及目標(biāo)函數(shù)來理解。

多層次目標(biāo)協(xié)調(diào)機(jī)制。線性規(guī)劃可以運(yùn)用拉格朗日函數(shù)，非線性規(guī)劃可以運(yùn)用庫(kù)恩—塔克（Kuhn-Tucker）定理，把一個(gè)模型實(shí)現(xiàn)最優(yōu)化所必須達(dá)到的條件組列出來，必須達(dá)到這組條件才能最優(yōu)化，而條件組中涉及了拉格朗日乘子，即影子價(jià)格。也可以借助影子價(jià)格寫出對(duì)偶模型，把拉格朗日條件改寫成最優(yōu)化目標(biāo)，把目標(biāo)寫成約束條件組。長(zhǎng)期以來，經(jīng)濟(jì)學(xué)的三部門模型，即政府追求 GDP最大化、企業(yè)追求利潤(rùn)最大化、消費(fèi)者（家庭）追求消費(fèi)效用最大化，三者存在不同的目標(biāo)。根據(jù)拉格朗日函數(shù)和庫(kù)恩—塔克定理，意味著每個(gè)主體都有其自己?jiǎn)为?dú)的目標(biāo)函數(shù)，但以分布式供求關(guān)系的信息構(gòu)架和分散決策為代表的市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制，能完全協(xié)調(diào)這三者不同的目標(biāo)而融為一體。當(dāng)然數(shù)學(xué)模型總有簡(jiǎn)化，現(xiàn)實(shí)描述則不能太簡(jiǎn)化，盡管如此，用數(shù)學(xué)規(guī)劃方法仍可以找出普遍規(guī)律。數(shù)學(xué)規(guī)劃加上拉格朗日函數(shù)、庫(kù)恩-塔克定理的運(yùn)用，可以發(fā)現(xiàn)多目標(biāo)協(xié)調(diào)機(jī)制的數(shù)學(xué)解釋非常清晰，且可以運(yùn)用于實(shí)踐。

數(shù)據(jù)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)分析中的第二個(gè)具體問題是約束條件。

約束條件在大的分類上有等式約束和不等式約束。等式約束可體現(xiàn)為經(jīng)濟(jì)規(guī)律中的恒等式；不等式約束典型的例子就是資源配置。有人說，生產(chǎn)法GDP可能導(dǎo)致盲目擴(kuò)大生產(chǎn)、產(chǎn)能過剩等問題，但如果把宏觀經(jīng)濟(jì)模型翻譯成數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，將生產(chǎn)法GDP作為目標(biāo)函數(shù)、支出法GDP作為等式約束條件，也就是要求投資、消費(fèi)和政府支出加上凈出口，最后等于生產(chǎn)法所生產(chǎn)出來的商品，這意味著在尋求生產(chǎn)法GDP最大化時(shí)，不會(huì)發(fā)生生產(chǎn)出商品賣不出去的情況。同樣，也可在等式約束里放收入法GDP?？偟膩碚f，數(shù)學(xué)規(guī)劃在生產(chǎn)法、支出法、收入法GDP中任選一個(gè)當(dāng)目標(biāo)，其他兩個(gè)做等式約束條件，最終可得出三種GDP在市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)體制上可以不互相沖突。

數(shù)據(jù)規(guī)劃在經(jīng)濟(jì)分析中的第三個(gè)具體問題是拉格朗日乘子和拉格朗日函數(shù)。

拉格朗日問題可以衍生出對(duì)偶問題。對(duì)偶問題有兩個(gè)方面：一方面是對(duì)偶模型，線性規(guī)劃中的最大化必然有一個(gè)最小化的對(duì)偶模型，比如說企業(yè)利潤(rùn)最大化，對(duì)偶的影子就是成本最小化，所以兩個(gè)模型之間可以相互翻譯、互為影子。另一方面是等式約束和不等式條件約束對(duì)應(yīng)的影子價(jià)格，比如在生產(chǎn)要素資源配置優(yōu)化過程中，某一項(xiàng)要素條件的變化，對(duì)于實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)都有一個(gè)成本，按經(jīng)濟(jì)學(xué)講就是影子價(jià)格。因此，約束條件對(duì)應(yīng)了用影子價(jià)格衡量的代價(jià)。企業(yè)多雇一個(gè)人，給他的報(bào)酬取決于多雇一個(gè)人對(duì)目標(biāo)函數(shù)實(shí)現(xiàn)的邊際增量（是邊際而不是平均的）。經(jīng)濟(jì)學(xué)中邊際的概念，可以更準(zhǔn)確地描述為數(shù)學(xué)規(guī)劃測(cè)度的影子價(jià)格問題。影子價(jià)格恰好是線性規(guī)劃里的拉格朗日乘子。這個(gè)思維對(duì)經(jīng)濟(jì)分析是很有益處的。

拉格朗日函數(shù)可以將不同層次的數(shù)學(xué)規(guī)劃聯(lián)系起來。數(shù)學(xué)規(guī)劃還有一個(gè)有意思的問題是大數(shù)學(xué)規(guī)劃模型套小數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，小數(shù)學(xué)規(guī)劃模型還可套更小的數(shù)學(xué)規(guī)劃模型，用拉格朗日函數(shù)將數(shù)學(xué)規(guī)劃問題轉(zhuǎn)為函數(shù)形式就當(dāng)作約束條件來用，對(duì)不同變量求導(dǎo)推導(dǎo)出一組優(yōu)化條件，經(jīng)濟(jì)達(dá)到這組條件就實(shí)現(xiàn)優(yōu)化配置。要實(shí)現(xiàn)優(yōu)化配置，就要用影子價(jià)格做激勵(lì)機(jī)制。頂層數(shù)學(xué)規(guī)劃的條件組一部分是由次一層數(shù)學(xué)規(guī)劃的拉格朗日函數(shù)轉(zhuǎn)化成的。以消費(fèi)者行為為例，消費(fèi)者效用最大化是較低層的數(shù)學(xué)規(guī)劃，可以優(yōu)化出消費(fèi)者效用最大化的行為，而消費(fèi)者行為的約束條件，即消費(fèi)者支出小于收入又是從另一個(gè)涉及勞動(dòng)與休閑、儲(chǔ)蓄與花銷行為的優(yōu)化模型推出來的，這樣就把大的問題和小的行為問題聯(lián)系起來了。2008年金融危機(jī)以后，出現(xiàn)了大量對(duì)宏觀經(jīng)濟(jì)模型的批評(píng)，認(rèn)為缺乏金融機(jī)構(gòu)的行為，偏離現(xiàn)實(shí)。過去金融機(jī)構(gòu)行為都被簡(jiǎn)化掉了，認(rèn)為在制度條件下有存款就會(huì)都轉(zhuǎn)化成貸款，不用考慮金融機(jī)構(gòu)的行為，但危機(jī)表明，必須關(guān)注恐慌、惜貸等金融機(jī)構(gòu)行為，否則經(jīng)濟(jì)分析就會(huì)出漏洞。這樣，就有必要先構(gòu)建金融機(jī)構(gòu)自身行為的優(yōu)化模型，通過拉格朗日函數(shù)及其關(guān)聯(lián)，放到頂層的宏觀模型中去。

總的來看，數(shù)學(xué)上還沒有真正解決動(dòng)態(tài)規(guī)劃問題，因此動(dòng)態(tài)規(guī)劃處理復(fù)雜問題相對(duì)更困難，可以更多依靠模擬（Simulation）來作比較分析，就像羅馬俱樂部把世界幾十年后環(huán)境資源無法承載的模擬結(jié)果展示出來。通過數(shù)學(xué)建模，能夠發(fā)現(xiàn)很多問題，比如目標(biāo)沖突、不可能性問題、對(duì)偶問題等，可以開拓思維，有很多研究題目可以繼續(xù)深入。此外，理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)規(guī)劃也必然會(huì)聯(lián)系到其他一些數(shù)學(xué)方法和模型。

數(shù)據(jù)的收集、運(yùn)用及其概念，都離不開經(jīng)濟(jì)社會(huì)統(tǒng)計(jì)及統(tǒng)計(jì)模型，經(jīng)濟(jì)規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和參數(shù)化離不開計(jì)量模型；經(jīng)濟(jì)行為的描述越來越需要博弈論。搞好宏觀經(jīng)濟(jì)工作常提到調(diào)控，涉及控制系統(tǒng)理論和信息論。以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)的經(jīng)濟(jì)分析呈現(xiàn)為一片又深又藍(lán)的知識(shí)與技能的海洋。

本文為周小川新著《數(shù)學(xué)規(guī)劃與經(jīng)濟(jì)分析》的總序言，據(jù)于2018年7月27日在“用數(shù)學(xué)規(guī)劃看經(jīng)濟(jì)體系”講座上的講話整理。