ABlack-Scholes模型

隨機(jī)波動(dòng)率實(shí)質(zhì)上就是跳出了傳統(tǒng)金融市場以一定時(shí)期內(nèi)波動(dòng)率作為恒定參數(shù)考慮市場的框架，而認(rèn)為波動(dòng)率本身是隨著價(jià)格變化而變化的，這一變化過程符合隨機(jī)過程。在當(dāng)前的金融市場，因?yàn)樵擃惸Ｐ涂紤]的因素更多、理論基礎(chǔ)更為嚴(yán)謹(jǐn)而受到不少投資者的關(guān)注。

雖然Black-Scholes模型通過隨機(jī)波動(dòng)率對期權(quán)定價(jià)(某些寬松的假設(shè)實(shí)質(zhì)上在交易過程中也是可以被接受的)，也將影響期權(quán)權(quán)力的波動(dòng)率及分布概率等問題引入到整個(gè)評估體系中，但當(dāng)時(shí)還有諸多尚未解決的問題，其中一個(gè)重要的不足之處在于它對于基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格回報(bào)恒定波動(dòng)率(以及其波動(dòng)率不受價(jià)格變化影響)的假設(shè)。這種假設(shè)意味著使用期權(quán)的對沖者要不斷地對波動(dòng)率假設(shè)進(jìn)行調(diào)整來反映實(shí)際的市場價(jià)格數(shù)據(jù)，從而導(dǎo)致了對沖比例的不斷變化，也導(dǎo)致了傳統(tǒng)期權(quán)定價(jià)模型無法對隱含波動(dòng)率的一些固有特性給予合理的解釋。在現(xiàn)實(shí)市場中，Black-Scholes模型給出的期權(quán)理論定價(jià)也比較難吻合觀察到的期權(quán)市場價(jià)格。

Black-Scholes模型根據(jù)當(dāng)前標(biāo)的價(jià)格和靜態(tài)波動(dòng)率來得到當(dāng)前的期權(quán)價(jià)格，存在著一些難以克服的缺陷，比如說假設(shè)股票價(jià)格的收益率是遵循一個(gè)固定的均值和方差的正態(tài)分布等。但是在實(shí)證中我們發(fā)現(xiàn)波動(dòng)率事實(shí)上隨時(shí)間變化有一個(gè)集聚過程，這與Black-Scholes模型假設(shè)有極大的出入。另外金融界與學(xué)術(shù)界也意識(shí)到金融價(jià)格時(shí)間序列的分布形態(tài)明顯體現(xiàn)出尖峰厚尾的回報(bào)特點(diǎn)，也即是說市場的尾部風(fēng)險(xiǎn)較高，這實(shí)質(zhì)上是期權(quán)定價(jià)中一個(gè)明顯的溢價(jià)因素，且不能被固定波動(dòng)率的假設(shè)所捕捉。除此之外，金融價(jià)格時(shí)間序列中波動(dòng)率偏離后均值復(fù)歸的特點(diǎn)也是Black-Scholes模型無法刻畫的難點(diǎn)。在期權(quán)市場的實(shí)際交易中隱含波動(dòng)率往往呈現(xiàn)波動(dòng)率微笑形態(tài)，隨著執(zhí)行價(jià)格不同位置的變化，期權(quán)反推的隱含波動(dòng)率并不一致。

就波動(dòng)率本身而言，我們可以由市場數(shù)據(jù)觀察到它的主要特性包括：波動(dòng)率簇集(volatility clustering)、回報(bào)分布尖峰厚尾(high peak/fat tails)導(dǎo)致的高波動(dòng)率變化以及波動(dòng)率均值回歸(volatility mean-reverting)。其中尖峰厚尾特性是由于有不同方差的分布混合而產(chǎn)生的。顯然，要對期權(quán)進(jìn)行準(zhǔn)確的定價(jià)，對于波動(dòng)率隨機(jī)過程的刻畫就尤為重要，特別是在非平值期權(quán)的定價(jià)方面。

出于以上的考慮，我們認(rèn)為將隨機(jī)波動(dòng)率引入到期權(quán)定價(jià)當(dāng)中十分有必要。隨機(jī)波動(dòng)率的主要思路是將標(biāo)的資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)率描述為一個(gè)由價(jià)格水平、波動(dòng)率均值回歸趨勢和波動(dòng)率方差控制的隨機(jī)過程。這樣一來就提供了對波動(dòng)率動(dòng)態(tài)變化進(jìn)行刻畫的方式，進(jìn)而也提供了對期權(quán)進(jìn)行更加準(zhǔn)確定價(jià)的可能。

BHeston模型：刻畫波動(dòng)率變化的基礎(chǔ)模型

在克服之前所提到的諸多問題方面，目前業(yè)界主流的方法是對傳統(tǒng)Black-Scholes模型的一些拓展，比如說我們知道在已知執(zhí)行價(jià)格、標(biāo)的價(jià)格、到期日的情況下，影響期權(quán)價(jià)格的主要因素是波動(dòng)率和利率變化，所以可以用隨機(jī)波動(dòng)率模型和隨機(jī)利率模型刻畫這兩個(gè)重要的因子，同時(shí)，在考慮波動(dòng)率分布方面，除了之前提到的諸多特點(diǎn)外，因?yàn)樗€有跳躍的情況，我們還可以加入隨機(jī)波動(dòng)率跳躍模型。如此一來，期權(quán)的定價(jià)實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)變?yōu)榱宋覀冊谫Y產(chǎn)價(jià)格、利率水平和風(fēng)險(xiǎn)價(jià)格之間平衡的解決方法。為了更加準(zhǔn)確地在該框架下以刻畫波動(dòng)率的思路為期權(quán)定價(jià)，我們使用隨機(jī)波動(dòng)率模型來優(yōu)化期權(quán)價(jià)格的計(jì)算。其中一個(gè)比較基礎(chǔ)的模型就是Heston模型。

Heston在1993年提出這種模型，并且提供了期權(quán)價(jià)格的閉式解。由于可以考慮資產(chǎn)價(jià)格和資產(chǎn)波動(dòng)率的相關(guān)性，而且假設(shè)資產(chǎn)價(jià)格有一個(gè)擴(kuò)散的過程，因此在這個(gè)模型中，期權(quán)的價(jià)格是通過計(jì)算看漲期權(quán)交割在實(shí)值區(qū)域的概率得到的。下面簡單介紹一下其邏輯過程：

Heston模型假設(shè)股票價(jià)格S服從擴(kuò)散分布(幾何布朗運(yùn)動(dòng))，其中以μ這個(gè)漂移參數(shù)作為波動(dòng)方向的調(diào)整。Heston和B-S最大的區(qū)別是在判定波動(dòng)率時(shí)不再認(rèn)為其是一個(gè)常數(shù)，而是也服從一個(gè)擴(kuò)散過程。在實(shí)際操作過程中可以運(yùn)用伊藤定理來獲得波動(dòng)率，根據(jù)Cox、Ingersoll、Ross三人寫出的隨機(jī)偏微分方程，以不同參數(shù)分別刻畫波動(dòng)率均值復(fù)歸的速度、波動(dòng)率長期均值及波動(dòng)率的波動(dòng)率。此處模型考慮了加入波動(dòng)率與回報(bào)之間相關(guān)性的聯(lián)系，以使得波動(dòng)率影響得以體現(xiàn)，這有賴兩個(gè)方程的相關(guān)性分析。

相關(guān)性參數(shù)的刻畫尤為重要，因?yàn)樗从沉藘r(jià)格變動(dòng)的偏度，也很大程度上顯示了價(jià)格回報(bào)尖峰厚尾的特點(diǎn)。當(dāng)相關(guān)性ρ>0時(shí)，會(huì)導(dǎo)致厚尾右偏：因?yàn)楫?dāng)波動(dòng)率隨回報(bào)的變大而變大，會(huì)對價(jià)格變動(dòng)起到放大作用。與之相對的，當(dāng)相關(guān)性ρ<0時(shí)，會(huì)導(dǎo)致價(jià)格回報(bào)厚尾左偏：因?yàn)楫?dāng)波動(dòng)率隨回報(bào)的變大而變小，會(huì)對價(jià)格變動(dòng)起到減小作用。

相關(guān)性之所以重要，除了上面討論的一些原因，最重要的還是因?yàn)椴▌?dòng)率變化的精確捕捉，我們可以在不同相關(guān)關(guān)系背景下為期權(quán)找到正確的價(jià)格。在金融市場，特別是股票市場，我們可以觀察到明顯的杠桿效用(leverage)和崩盤恐懼/巨災(zāi)(crash-ophobia)效應(yīng)。杠桿作用通常被理解為當(dāng)股票價(jià)值下跌會(huì)提升公司的財(cái)務(wù)杠桿比率，這意味著公司股權(quán)資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)加大，波動(dòng)率加劇(回報(bào)與波動(dòng)率正相關(guān))；而股票價(jià)值上升會(huì)降低公司的財(cái)務(wù)杠桿比率，從而降低公司股權(quán)資產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，波動(dòng)率降低(回報(bào)與波動(dòng)率負(fù)相關(guān))。我們知道Black-Scholes模型最大的問題之一就是恒定波動(dòng)率假設(shè)不能捕捉的市場信息過多，也就造成了定價(jià)的相應(yīng)偏差，但是若我們使用Heston模型的假設(shè)之后，在不同相關(guān)性下自然可以刻畫之前期權(quán)偏差部分的變化。

在得到波動(dòng)率與價(jià)格變化方程后，在t時(shí)刻，歐式期權(quán)的價(jià)格有剩余交割日(T-t)，可以以傳統(tǒng)B-S的交易框架以P1、P2兩個(gè)概率概念代替原有的累計(jì)概率函數(shù)N(d)進(jìn)行定價(jià)分析。P1和P2代表的其實(shí)正是我們看漲期權(quán)最后實(shí)值交割的概率。

計(jì)算這里的P值需要反轉(zhuǎn)計(jì)算風(fēng)險(xiǎn)中性機(jī)制，最后可以將其表述為一系列復(fù)雜的計(jì)算公式，但因?yàn)殚]式解各級(jí)參數(shù)都有對應(yīng)公式，需要的投資者可以直接套用。

通過公式的計(jì)算，可以得到P1和P2值的閉式解，進(jìn)而得到看漲期權(quán)的理論計(jì)算值。有了看漲期權(quán)的價(jià)格，看跌期權(quán)則可以通過call-put parity平價(jià)公式來得到。

在Heston模型的理論框架下，特別值得注意的一點(diǎn)就是回報(bào)分布的偏度、峰度是由波動(dòng)率與回報(bào)的相關(guān)性決定的，而傳統(tǒng)Black-Scholes模型中，波動(dòng)率為恒定值，所以二者對同樣的執(zhí)行價(jià)格與標(biāo)的產(chǎn)品定價(jià)時(shí)勢必產(chǎn)生差別，下圖是假設(shè)某資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)及假設(shè)波動(dòng)率與回報(bào)相關(guān)性分別為-0.5和與0.5時(shí)與Black-Scholes公式定價(jià)差異的變化情況。

我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)波動(dòng)率與回報(bào)假設(shè)為正相關(guān)時(shí)，實(shí)值看漲期權(quán)若以Heston模型定價(jià)會(huì)比Black-Scholes模型定價(jià)便宜，但若是虛值看漲期權(quán)狀態(tài)則會(huì)比Black-Scholes模型定價(jià)更貴。若波動(dòng)率與回報(bào)假設(shè)為負(fù)相關(guān)時(shí)，實(shí)值看漲期權(quán)以Heston模型定價(jià)會(huì)比Black-Scholes模型定價(jià)更貴，但若是虛值看漲期權(quán)狀態(tài)則會(huì)比Black-Scholes模型定價(jià)更便宜。實(shí)際上，在現(xiàn)實(shí)市場中，我們知道虛值看漲期權(quán)的交易價(jià)格通常會(huì)高于Black-Scholes模型所給出的價(jià)格，這背后有杠桿作用和巨災(zāi)效用的原因(巨災(zāi)效用也一定程度被解釋為遠(yuǎn)期相對較差流動(dòng)性的合約會(huì)有一定的流動(dòng)性升水，導(dǎo)致隱含波動(dòng)率較高)。與此同時(shí)，這樣的特點(diǎn)與回報(bào)分布左偏厚尾的特點(diǎn)也較為一致，在相對低執(zhí)行價(jià)格的位置，期權(quán)隱含波動(dòng)率確實(shí)應(yīng)該更高，這也意味著此時(shí)波動(dòng)率與回報(bào)應(yīng)該呈現(xiàn)正相關(guān)關(guān)系。所以我們可以認(rèn)為對看漲期權(quán)定價(jià)時(shí)，當(dāng)期權(quán)為虛值狀態(tài)，設(shè)置其相關(guān)性為正相關(guān)，反之為實(shí)值狀態(tài)時(shí)，則設(shè)置其相關(guān)性為負(fù)相關(guān)以擬合實(shí)際的市場狀況。如此一來，最后我們還能得出符合市場狀況的隱含波動(dòng)率微笑曲線。

cHeston & Nandi模型：波動(dòng)率歷史記憶性的引入

事實(shí)上，盡管Heston模型在當(dāng)前的金融工程領(lǐng)域已經(jīng)得到了極大的重視，也因?yàn)槠淇茖W(xué)的理論假設(shè)得到業(yè)界的認(rèn)可，但是該模型在校準(zhǔn)參數(shù)與估計(jì)的過程中不可避免地會(huì)面臨諸多問題，特別是對相關(guān)性的估計(jì)是一大難點(diǎn)。因此，業(yè)界另一個(gè)較為熟知的定價(jià)模型Heston & Nandi也越來越得到金融界人士的認(rèn)可。其基本思路與T.Bollerslev(1986)提出的Garch模型有極大的關(guān)系。

Garch模型是一個(gè)專門針對金融數(shù)據(jù)量體定做的回歸模型，除去和普通回歸模型相同之處，Garch對誤差的方差進(jìn)行了進(jìn)一步的建模。在對資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的刻畫方面，波動(dòng)率作為最重要的因素之一，一直都是學(xué)術(shù)與業(yè)界研究的重點(diǎn)，而波動(dòng)率聚簇及自相關(guān)的一些特性也開始越來越受到關(guān)注。因此，在對這些特性準(zhǔn)確捕捉的諸多模型中，Garch模型才成為應(yīng)用最為廣泛的計(jì)量方法?；趯Σ▌?dòng)率精確的估計(jì)與預(yù)測，Garch的建模思路得以在Heston & nandi模型中對波動(dòng)率的評估提供重要的參數(shù)信息。

在Heston & nandi模型框架下，對于方差的變動(dòng)是假設(shè)服從Garch(p，q)過程的，而模型具體參數(shù)的推導(dǎo)則又需要從到期日開始往前遞歸來完成。簡單來說，模型的整體思路就是通過Garch過程模擬獲得Garch參數(shù)后，以此為基礎(chǔ)再通過遞歸推出Heston & nandi模型的參數(shù)，最終確定期權(quán)執(zhí)行概率及期權(quán)價(jià)格。

通常來講，Garch(1，1)比較符合資產(chǎn)價(jià)格的波動(dòng)情況，也具有足夠的顯著性說明問題。與此同時(shí)，Heston & Nandi在其文獻(xiàn)中也證明過隨著到期日長度的增加，Garch(1，1)提供的參數(shù)所生成的結(jié)果會(huì)與Heston模型的結(jié)果趨于一致。

在Heston & Nandi模型框架下，對數(shù)回報(bào)應(yīng)該符合Garch(1，1)過程。Heston & Nandi模型中峰度和方差的確定與Garch模型類似，只是在定價(jià)過程中，需要預(yù)設(shè)部分參數(shù)以進(jìn)行遞歸運(yùn)算。該模型期權(quán)的定價(jià)方式與之前Heston模型沒有本質(zhì)上的區(qū)別，但是在P的確定方面，Heston & Nandi模型需要進(jìn)一步確定模型參數(shù)，最終尋得類似Heston模型P1、P2的結(jié)果進(jìn)行定價(jià)。

D通過期權(quán)的隱含波動(dòng)率推測其他執(zhí)行價(jià)格的隱含波動(dòng)率進(jìn)行期權(quán)定價(jià)

上文就隨機(jī)波動(dòng)率相關(guān)的定價(jià)模型進(jìn)行了討論，不過其定價(jià)思路依然有一定的局限性，特別是在參數(shù)估計(jì)與計(jì)算的過程中，這導(dǎo)致模型的理論假設(shè)雖較為完備但運(yùn)用復(fù)雜。所以在期權(quán)理論研究的相當(dāng)長一段時(shí)間里，許多學(xué)者還就波動(dòng)率微笑形態(tài)的變化進(jìn)行了大量的工作。其中一個(gè)重要的結(jié)論在Skiadopoulos、Hodges和Clelow(2000)的論文中有提及，他們將行權(quán)價(jià)格和價(jià)值狀態(tài)作為參數(shù)，通過PCA(主成分分析法)研究了在給定剩余到期時(shí)間下標(biāo)普500指數(shù)隱含波動(dòng)率的變化情況，他們將期權(quán)隱含波動(dòng)率變化形態(tài)的研究推上了前臺(tái)。

Alexander(2001)在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步應(yīng)用PCA對不同行權(quán)價(jià)期權(quán)的隱含波動(dòng)率與評價(jià)隱含波動(dòng)率的偏離程度變化進(jìn)行了研究，她的研究結(jié)果表明隱含波動(dòng)率微笑的平行移動(dòng)、傾斜變化及曲率變化分別占到了波動(dòng)率方差整體的65%—80%、5%—15%和5%。這意味著我們在期權(quán)定價(jià)的過程中，對波動(dòng)率微笑形態(tài)的理解實(shí)質(zhì)上是最為重要的。而對該形態(tài)的描繪我們可以參考Brown & Randall在《If the skew fits》一文中所提及的方法：引入波動(dòng)率構(gòu)建函數(shù)，使用三項(xiàng)來構(gòu)成期權(quán)價(jià)格可使用的波動(dòng)率形態(tài)，分別是平值期權(quán)隱含波動(dòng)率以函數(shù)中心的性質(zhì)確定大致的估計(jì)，然后處理對波動(dòng)率的修正問題，以tanh非對稱函數(shù)體現(xiàn)低執(zhí)行價(jià)格期權(quán)高波動(dòng)率和高執(zhí)行價(jià)格低波動(dòng)率的特點(diǎn)，其中對偏度影響最大的分項(xiàng)的寬度由指定參數(shù)確定，最后，以Sech對稱函數(shù)來增加隱含波動(dòng)率在深度實(shí)值與深度虛值狀態(tài)下的波動(dòng)率。如此一來，我們就可以通過流動(dòng)性較好的期權(quán)隱含波動(dòng)率引入skew的趨勢及skew的程度最終得到修正后的深度實(shí)值到深度虛值波動(dòng)率曲線，最終給各個(gè)執(zhí)行價(jià)格期權(quán)定價(jià)。

該方法也允許我們了解整個(gè)期權(quán)跨執(zhí)行價(jià)隱含波動(dòng)率的形態(tài)特點(diǎn)，進(jìn)而解釋65%以上的期權(quán)隱含波動(dòng)率變動(dòng)。換句話說，當(dāng)我們擁有一條合理的波動(dòng)率微笑曲線，則在價(jià)格變動(dòng)時(shí)只需要確定平值期權(quán)的隱含波動(dòng)率就可以進(jìn)而推測其他所有執(zhí)行價(jià)格的隱含波動(dòng)率，以進(jìn)行期權(quán)定價(jià)。

E隨機(jī)波動(dòng)率類模型引入期權(quán)定價(jià)方法的展望

本文通過多個(gè)貼近市場模型的具體實(shí)現(xiàn)提供了一種新的期權(quán)定價(jià)解決思路，即使市場參與者沒有獲得期權(quán)市場價(jià)格的渠道，抑或在流動(dòng)性不夠充裕的情況下，也可以按照標(biāo)的實(shí)時(shí)價(jià)格通過本文提及的模型計(jì)算相對應(yīng)的期權(quán)價(jià)格作為參與市場的參考。最主要的是，考慮到資產(chǎn)價(jià)格回報(bào)的諸多特點(diǎn)，隨機(jī)波動(dòng)率類模型的引入克服了以往期權(quán)定價(jià)的諸多不足。

除此之外，隨著業(yè)界對期權(quán)隱含波動(dòng)率變化了解的加深，從形狀特點(diǎn)入手解決期權(quán)問題的思路也在本文有所提及。從波動(dòng)率曲面來看，我們可以通過分析期限結(jié)構(gòu)和波動(dòng)率偏離來指導(dǎo)我們對市場方向性的判斷，關(guān)于波動(dòng)率曲面的深入研究，不論是對期權(quán)本身特性的了解，還是對發(fā)現(xiàn)潛在套利機(jī)會(huì)以及制訂交易策略，都有著重要的意義。受限于篇幅，本文未就多個(gè)模型的推導(dǎo)過程進(jìn)行介紹，但考慮到模型存在閉式解，投資者可自行直接使用模型框架方面理解。

最后，筆者非常認(rèn)可George Box說過的那句話“基本上，所有的模型都是錯(cuò)誤的，但有些是有用的”，所以我們不應(yīng)該癡迷于某種精巧的模型而過分信任甚至夸大其效果，而應(yīng)該借助模型本身分析了解其推論背后的特點(diǎn)和邏輯幫助我們判斷面臨的情況。