金融投資是一門藝術(shù)，事關(guān)對經(jīng)濟(jì)的分析、政策的判斷、人性的理解；這又是一項(xiàng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，事關(guān)隨機(jī)微積分、概率統(tǒng)計(jì)、優(yōu)化理論。本文從量化金融的起源開始，還原整個(gè)體系的建立、發(fā)展與完善的歷史過程，帶你走進(jìn)數(shù)量化金融的世界……

布朗運(yùn)動

1827年蘇格拉生物學(xué)家Robert Brown用他自己的名字命名了微小粒子在液體中自由運(yùn)動的現(xiàn)象：布朗運(yùn)動。這種“隨機(jī)游走”的理念后來貫穿于許多科學(xué)領(lǐng)域，尤其是普遍運(yùn)用于各種不可預(yù)測的連續(xù)時(shí)間過程的機(jī)制，基于布朗運(yùn)動的對數(shù)正態(tài)隨機(jī)游走理論也是金融市場的經(jīng)典框架，為之后的量化金融的蓬勃發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。

量化開拓者

Louis Bachelier是第一個(gè)量化描述布朗運(yùn)動的人。他在1900年的論文中提出，影響股票價(jià)格漲跌的原因是無窮無盡的，無法用概率論模型來動態(tài)準(zhǔn)確地預(yù)測，這也不是一項(xiàng)精確意義上的科學(xué)；

但是在市場的某一個(gè)靜態(tài)的時(shí)刻，可以建立數(shù)學(xué)模型來分析市場漲跌的概率的大小，這就是隨機(jī)游走的數(shù)學(xué)理論基礎(chǔ)。他的模型為后來的研究工作提供了大量的參考，例如股票價(jià)格模型、期權(quán)定價(jià)模型等，但遺憾的是在他的有生之年都沒有引起業(yè)界的重視，它的價(jià)值直到幾十年后才被后人發(fā)現(xiàn)。

擴(kuò)散方程

許多期權(quán)相關(guān)的模型最終歸結(jié)于一個(gè)擴(kuò)散方程，這是一個(gè)偏微分方程，一般通過數(shù)值方法計(jì)算。主流的兩種方法是模特卡羅法和有限差分（一個(gè)更為復(fù)雜的二叉樹模型）。

有限差分方法最初由LewisFry Richardson在1911年提出，他將微分方程離散成了差分方程，用來解決天氣預(yù)測中擴(kuò)散方程問題。Richardson后來從事戰(zhàn)爭原因數(shù)學(xué)模型的研究。

維納過程

1923年，NorbertWiener為布朗運(yùn)動建立了一套嚴(yán)格的理論體系，這也是之后幾十年的量化金融的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，在數(shù)理類學(xué)術(shù)論文中被大量引用。

在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域，維納過程在連續(xù)鞅以及連續(xù)時(shí)間隨機(jī)過程、擴(kuò)散過程、位勢論中發(fā)揮重要作用；在應(yīng)用數(shù)學(xué)領(lǐng)域，維納過程用來代表白噪聲高斯過程的積分，是信號處理、控制理論的重要模型；在物理學(xué)、量子力學(xué)方面，維納過程也有廣泛的運(yùn)用；在數(shù)量金融領(lǐng)域，它是Black-Scholes期權(quán)定價(jià)模型的基礎(chǔ)。

數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)

說到20世紀(jì)的經(jīng)濟(jì)學(xué)家，美國人Paul Samuelson算是最有影響力的之一，他建立了經(jīng)濟(jì)學(xué)理論的科學(xué)分析體系，被稱為現(xiàn)代經(jīng)濟(jì)學(xué)之父，也是第一位獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)的美國人。

Samuelson建立了宏觀和微觀經(jīng)濟(jì)學(xué)數(shù)量化體系，代表的研究成果包括消費(fèi)理論中的功效函數(shù)、福利經(jīng)濟(jì)學(xué)里面的Lindahl–Bowen–Samuelson條件、資本市場理論中的隧道理論、金融市場中的有效市場假說、公共金融學(xué)中的最優(yōu)化配置、國際金融學(xué)中的Balassa–Samuelson效應(yīng)和Heckscher–Ohlin 模型等。

Samuelson重新發(fā)現(xiàn)了Bachelier的研究論文，為后來的期權(quán)定價(jià)理論打下了基礎(chǔ)。他的衍生品定價(jià)理論是基于數(shù)學(xué)期望的，這和之后的風(fēng)險(xiǎn)中性理論有很大的差別。Samuelson從哈佛大學(xué)拿到了經(jīng)濟(jì)學(xué)博士，并在25歲的時(shí)候成為MIT的助理教授，該校的經(jīng)濟(jì)學(xué)專業(yè)也在他的帶領(lǐng)下成為世界經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的翹楚。他的學(xué)生Robert M. Solow，F(xiàn)ranco Modigliani，Robert C. Merton，Joseph E. Stiglitz 和Paul Krugman，也都獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)。

伊藤引理

很難想象如果金融學(xué)領(lǐng)域沒有了隨機(jī)過程或者伊藤微積分會是怎樣的，有些人甚至認(rèn)為金融學(xué)就是伊藤微積分。KiyosiIto證明了獨(dú)立變量隨機(jī)微分方程和該變量函數(shù)的隨機(jī)微分方程之間的關(guān)聯(lián)，其中一個(gè)經(jīng)典的衍生品定價(jià)理論就是資產(chǎn)價(jià)格演變的對數(shù)正態(tài)隨機(jī)微分方程，伊藤引理告訴我們了該資產(chǎn)期權(quán)價(jià)格的隨機(jī)微分方程。

簡單地說，如果有一個(gè)維納過程X和一個(gè)均值為0、方差為dt的正態(tài)分布的增量dX，那么增量的函數(shù)F(X)可以用泰勒二階展開表示為：

數(shù)學(xué)上更為嚴(yán)格一些的表達(dá)方式為：

現(xiàn)代組合理論

1952年，HarryMarkowitz第一個(gè)提出了投資組合理論的量化模型，這是一個(gè)非常優(yōu)雅的理論，創(chuàng)新性地給出了有效市場組合的概念，同時(shí)對資產(chǎn)的波動性和相關(guān)性的意義做了描述。Markowitz認(rèn)為資產(chǎn)組合可以獲得比單個(gè)資產(chǎn)更好的表現(xiàn)，對于這個(gè)“更好”，是基于預(yù)期收益和標(biāo)準(zhǔn)方差的量化指標(biāo)，標(biāo)準(zhǔn)差被用來解釋風(fēng)險(xiǎn)。對于任何一個(gè)資產(chǎn)組合，在特定風(fēng)險(xiǎn)的條件下，都可以獲得一個(gè)最優(yōu)的收益，這個(gè)組合的位置連成的曲線稱為“有效前沿”，曲線上的每個(gè)點(diǎn)都是一個(gè)有效組合。

Markowitz因?yàn)檫@項(xiàng)研究成果獲得了諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)，但實(shí)際過程中卻很少使用這個(gè)理論，原因是這個(gè)模型做了很多在理想狀況下，而市場中卻不存在的假設(shè)；同時(shí)模型的一些參數(shù)，例如波動性、相關(guān)性都不容易衡量，但計(jì)算的結(jié)果對這些參數(shù)又十分敏感，從而導(dǎo)致模型的不穩(wěn)定性。

資本資產(chǎn)定價(jià)模型

1963年，斯坦福大學(xué)的William Sharpe，哈佛大學(xué)的JohnLintner和挪威的經(jīng)濟(jì)學(xué)家Jan Mossin在Markowitz現(xiàn)在投資組合理論的基礎(chǔ)之上，用一個(gè)簡單的模型對風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)進(jìn)行定價(jià)，即資本資產(chǎn)定價(jià)模型(Capital Asset Pricing Model)。這個(gè)模型將資產(chǎn)收益對市場變化的敏感性用β來表示，同時(shí)將無風(fēng)險(xiǎn)收益率考慮在內(nèi)，得出風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)預(yù)期收益率。

CAPM考慮一種特殊形式的功效函數(shù)，只包含了收益率的一階矩和二階矩，換句話說就是收益率的分布僅僅由均值和方差決定。在這些條件下，CAPM認(rèn)為權(quán)益的成本僅僅由β決定。和現(xiàn)代組合理論類似，CAPM也有一系列過于理想化的假設(shè)，導(dǎo)致模型在實(shí)證分析中效果不佳。不過盡管之后出現(xiàn)了套利定價(jià)理論等更為復(fù)雜精確的模型，CAPM由于它的簡單易用，直到現(xiàn)在依然很受歡迎。

有效市場假說

1965年，芝加哥大學(xué)的經(jīng)濟(jì)金融學(xué)博士Fama在他的博士論文中分析了股票價(jià)格變動的行為，并得出結(jié)論：短期的股票價(jià)格不可預(yù)測，近似于隨機(jī)游走。股票市場收益是厚尾分布，這意味著一些極端情況的出現(xiàn)相比于正態(tài)分布假設(shè)下出現(xiàn)的頻率更高。

1970年，F(xiàn)ama提出了有效市場的理論，主要分為兩大部分：一是將市場的有效性分為三種情況：強(qiáng)勢有效、半強(qiáng)勢有效和弱勢有效，解釋了在不同的市場有效性的情況下，公開信息是如何反應(yīng)到股票價(jià)格中；二是認(rèn)為在無法否定市場平衡的情況下，市場的有效性也無法被拒絕。這個(gè)概念稱為“聯(lián)合假設(shè)問題”，意思是市場有效性需要由預(yù)期收益來進(jìn)行驗(yàn)證，但是往往預(yù)期收益和實(shí)際收益的偏差很大，因此我們無法證明市場是非有效的，研究者只能不斷通過修改模型來減少市場偏差。

Fama的另一個(gè)貢獻(xiàn)就是他的三因子模型。在資本資產(chǎn)定價(jià)模型（CAPM）等傳統(tǒng)理論下，投資組合的全部風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)由Beta系數(shù)表示。但是這一模型在解釋股票市場回報(bào)的現(xiàn)實(shí)情況上，如一月效應(yīng)，遇到了諸多挑戰(zhàn)。Fama和French觀察發(fā)現(xiàn)市值較小、市值賬面比較低的兩類公司更有可能取得優(yōu)于市場水平的平均回報(bào)率。由此三因子模型通過引入二個(gè)新的解釋變量：市凈率、公司規(guī)模、與CAPM中的市場指數(shù)一同估計(jì)股票的回報(bào)水平。

其中r是投資組合的期望收益率，Rf是市場無風(fēng)險(xiǎn)收益率，Rm是市場組合的收益率，三個(gè)變量的待估系數(shù)beta是市場組合風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)、規(guī)模溢價(jià)、市凈率溢價(jià)三個(gè)因素變化對期望收益率的影響，其中市場組合風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)的系數(shù)beta概念接近于CAPM模型中的beta系數(shù)。

公司規(guī)模變量SMB是指由市值小的公司組成的投資組合回報(bào)與市值大的公司組成的投資組合回報(bào)之差，市凈率溢價(jià)HML是賬面價(jià)值比較高的公司組成的投資組合回報(bào)與比值較低的公司投資組合回報(bào)之差。alpha是超額收益率，在理想的情況下，投資組合的超額回報(bào)將全部被三因素解釋，從而alpha應(yīng)在統(tǒng)計(jì)學(xué)意義上等于0。

準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)

1960年代中期，許多學(xué)者開始致力于準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)理論，或者稱為低偏差序列理論的研究。這個(gè)課題關(guān)心的是一系列點(diǎn)在任意維度的分布情況，以盡可能少量的點(diǎn)最大程度覆蓋整個(gè)空間。粗略來講，如果一個(gè)序列中隨機(jī)取出一部分點(diǎn)組成集合B并且和B的測度接近，多次試驗(yàn)取平均值的情況下，可以認(rèn)為序列的偏差較低。低偏差序列并不是隨機(jī)，也不是偽隨機(jī)，它通常用來代替隨機(jī)均勻分布序列，它通常具有隨機(jī)數(shù)的一些性質(zhì)，因此在多個(gè)領(lǐng)域中發(fā)揮重要運(yùn)用。

相比于純隨機(jī)數(shù)，準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)可以更快速地解決一些問題。確定性的方法一般只有在所有數(shù)據(jù)都完備的時(shí)候，給出一個(gè)精確解；而準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)可以隨著數(shù)據(jù)的增加不斷地迭代計(jì)算，使得結(jié)果越來越接近精確值。概率論中，準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)可以用來發(fā)現(xiàn)特征函數(shù)和概率密度函數(shù)，以及確定性的函數(shù)在微小擾動情況下的導(dǎo)函數(shù)，準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)還可以準(zhǔn)確快速地計(jì)算高階矩。

此外，準(zhǔn)隨機(jī)數(shù)還可以用于：對于一些不涉及排序的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，如均值、方差、偏度等；復(fù)雜的確定性函數(shù)的積分、全局最值的計(jì)算；一些局部確定性算法的起點(diǎn)，如Newton–Raphson迭代；以及一些搜索算法。這一數(shù)學(xué)工具的發(fā)展，推動了多元積分、蒙特卡洛方法，數(shù)值積分的運(yùn)用，對金融領(lǐng)域之后三十年的發(fā)展起到了重大作用。

賭場中的概率論

Ed Thorp，一位美國數(shù)學(xué)教授、對沖基金經(jīng)理、和21點(diǎn)玩家，是近代概率論的先驅(qū)。他的第一次名聲大噪是他發(fā)現(xiàn)了在賭場中取得21點(diǎn)游戲勝利的方法，在數(shù)學(xué)上證明了算牌法可以克服賭場優(yōu)勢，并寫成了一本暢銷書“Beat the Dealer”，這本書甚至使拉斯維加斯的賭場改變原有的規(guī)則。

另一方面，Thorp和ClaudeS hannon，一位信息學(xué)家，一起發(fā)明了世界的第一臺可穿戴電腦，因此也被稱為“可穿戴電腦之父”。1960年代，Thorp利用他在概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)方面的知識尋找證券市場上的錯(cuò)誤定價(jià)，建立了第一支基于純量化金融的對沖基金Princeton/Newport Partners，并因此賺取了大量財(cái)富。

期權(quán)定價(jià)

1973年，三位經(jīng)濟(jì)學(xué)家Fischer Black，Myron Scholes 和Robert Merton給出了歐式期權(quán)定價(jià)的公式，此公式問世后帶來了期權(quán)市場的繁榮。該公式被廣泛使用，雖然在很多情況下被使用者進(jìn)行一定的改動和修正。很多經(jīng)驗(yàn)測試表明這個(gè)公式足夠貼近市場價(jià)格，然而也有會出現(xiàn)差異的時(shí)候，如著名的“波動率的微笑”。模型的基本原理是上文所述的幾何布朗運(yùn)動：

以及如下的前提假設(shè)條件：

1.金融資產(chǎn)價(jià)格服從對數(shù)正態(tài)分布，而金融資產(chǎn)收益率服從正態(tài)分布；

2.在期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率和金融資產(chǎn)收益變量是恒定的；

3.市場無摩擦，即不存在稅收和交易成本；

4.金融資產(chǎn)在期權(quán)有效期內(nèi)無紅利及其它所得（該假設(shè)后被放棄）；

5.該期權(quán)是歐式期權(quán)，即在期權(quán)到期前不可實(shí)施。

從而推導(dǎo)出歐式期權(quán)價(jià)格的偏微分方程：

求解這個(gè)方程得到歐式期權(quán)價(jià)格的表達(dá)式：

公司債務(wù)風(fēng)險(xiǎn)

1974年，Robert Merton從看漲期權(quán)的角度來對公司價(jià)值和風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行結(jié)構(gòu)化建模，公司的債務(wù)關(guān)聯(lián)到期權(quán)的執(zhí)行價(jià)格，債務(wù)的期限則對應(yīng)期權(quán)的到期日。如果某一時(shí)刻期權(quán)價(jià)值為0，則說明資產(chǎn)價(jià)值小于債務(wù)，導(dǎo)致公司破產(chǎn)。

信用風(fēng)險(xiǎn)在90年代初迅速增加，關(guān)于這方面的理論和實(shí)踐運(yùn)用也在快速擴(kuò)張，這導(dǎo)致了一些巨大的事件的發(fā)生，比如Merton所在的長期資本管理公司的破產(chǎn)。目前關(guān)于信用風(fēng)險(xiǎn)的理論基于Merton的模型已經(jīng)有了長足的發(fā)展，引入了事件隨機(jī)發(fā)生的泊松過程，比如破產(chǎn)或者違約，已有許多研究成果。

蒙特卡羅法

1977年，愛爾蘭的經(jīng)濟(jì)學(xué)家Phelim Boyle通過大量地模擬基礎(chǔ)資產(chǎn)未來的收益，并取平均值，以此對期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，這就是蒙特卡羅方法，也是期權(quán)定價(jià)的第三種方法（另外兩種分別是BSM模型和二叉樹）。這種方法相對比較容易實(shí)現(xiàn)，并且使用靈活，在一切特定的情況下，比如股票價(jià)格發(fā)生突變，蒙特卡羅法定價(jià)具有明顯的優(yōu)勢。

利率定價(jià)

70年代中期，量化金融模型已經(jīng)非常普遍，但卻沒有關(guān)于利率定價(jià)的模型。有些人運(yùn)用股票期權(quán)定價(jià)的公式來對利率期權(quán)進(jìn)行定價(jià)，但是關(guān)于利率計(jì)算的完整框架還未建立。直到1977年，Vasicek提出的利率模型解決了這個(gè)問題。他將短期利率抽象為隨機(jī)游走的模型，利率的價(jià)格可以用以下隨機(jī)微分方程表示：

其中Wt是在風(fēng)險(xiǎn)中性框架下的維納過程，σ表示利率的波動率

同時(shí)，Vasicek也給出了債券定價(jià)的隨機(jī)微分方程：

二叉樹模型

BSM公式通過隨機(jī)微積分的方式得到期權(quán)定價(jià)的偏微分方程，但是在當(dāng)時(shí)金融從業(yè)者并不都精通數(shù)學(xué)和物理，只有極少數(shù)的人能理解這個(gè)公式；Boyle提出的蒙特卡羅模擬法是一種易于理解的方法，但是真正將期權(quán)定價(jià)推向普及的是Cox,Ross, Rubinstein這三位MBA在讀的學(xué)生，即二叉樹模型。

二叉樹期權(quán)定價(jià)模型建立在一個(gè)基本假設(shè)基礎(chǔ)上，即在給定的時(shí)間間隔內(nèi)，證券的價(jià)格運(yùn)動有兩個(gè)可能的方向：上漲或者下跌。雖然這一假設(shè)非常簡單，但由于可以把一個(gè)給定的時(shí)間段細(xì)分為更小的時(shí)間單位，因而二叉樹期權(quán)定價(jià)模型適用于處理更為復(fù)雜的期權(quán)。

假定到期且只有兩種可能，而且漲跌幅均為10%。這種假設(shè)過于粗糙，可修改為在T分為很多小的時(shí)間間隔Δt，而在每一個(gè)Δt，股票價(jià)格變化由S到Su或Sd。如果價(jià)格上漲概率為p，那么下跌的概率為1-p，可以得到：

由BSM方程知：可以假定市場為風(fēng)險(xiǎn)中性。即股票預(yù)期收益率μ等于無風(fēng)險(xiǎn)利率r，故有：

金融概率論

1979年，MikeHarrison 和DavidKreps，證明了期權(quán)價(jià)格和高等概率論基于離散時(shí)間的關(guān)系，而量化金融領(lǐng)域在這之前是完全由經(jīng)濟(jì)學(xué)家和數(shù)學(xué)家主導(dǎo)的。1981年，Harrison和StanPliska通過同樣的思路將這一理論擴(kuò)展到連續(xù)時(shí)間領(lǐng)域，建立了證券市場連續(xù)交易的廣義隨機(jī)過程模型。從那之后到90年代中期，應(yīng)用數(shù)學(xué)家?guī)缀醵紱]有受到過多的關(guān)注。

債券定價(jià)

Vasicek利率定價(jià)模型的一個(gè)問題是并沒有給出一個(gè)很好的債券價(jià)格，因此對于固定收益相關(guān)的產(chǎn)品及衍生品的定價(jià)也無從談起。1986年Thomas Ho 和Sang-Bin Lee提出了無套利利率變化模型(AR Model)，這個(gè)模型以完整的期限結(jié)構(gòu)作為已知條件，繼而推出期限結(jié)構(gòu)的無套利機(jī)會的隨機(jī)運(yùn)動，接著證明了AR模型可以用來為利率或有求償權(quán)相對于觀測到的期限結(jié)構(gòu)的定價(jià)。此外，該模型還可以用來對諸多或有求償權(quán)利率進(jìn)行定價(jià)，包括債券期權(quán)、可隨時(shí)償還的債券等。

HJM模型

盡管Ho和Lee展示了如何將簡單債券的理論值和市場價(jià)格匹配，但是這種方法過于復(fù)雜，不易執(zhí)行。1992年，David Heath，Robert Jarrow 和Andrew Morton(HJM模型)采用了一種新的基于等鞅測度的方法，對整條收益率曲線的隨機(jī)變化進(jìn)行建模，而不是只對短期利率建模然后歸納出整條收益率曲線。

最初的收益率曲線，以及簡單利率工具的值，需要作為模型的輸入。這些模型不容易用微分方程的形式表達(dá)，因此也是基于蒙特卡羅模擬的方式實(shí)現(xiàn)。

這個(gè)模型的創(chuàng)新主要體現(xiàn)在：

1.直接對遠(yuǎn)期利率曲線進(jìn)行隨機(jī)微積分計(jì)算；

2.不需要“反向期限結(jié)構(gòu)”，以避免來自于或有求償權(quán)所帶來的市場風(fēng)險(xiǎn)；

3.它通過隨機(jī)即期利率過程的多個(gè)隨機(jī)因子，來影響期限結(jié)構(gòu)。

多資產(chǎn)期權(quán)

對于多個(gè)資產(chǎn)的期權(quán)定價(jià)，每一個(gè)維度的資產(chǎn)也是遵循對數(shù)正態(tài)隨機(jī)游走理論，通過多元積分得到和路徑無關(guān)的歐式期權(quán)的價(jià)值。對于此類期權(quán)的定價(jià)本質(zhì)就是求積分，這種方式再高維并且正交的情況下會變得很低效，而蒙特卡羅方法可以解決這一問題。蒙特卡羅積分估計(jì)的原理很簡單：積分就是平均值乘以一個(gè)數(shù)量，是一個(gè)連續(xù)累加的過程。平均值的估計(jì)可以通過隨機(jī)數(shù)實(shí)現(xiàn)，時(shí)間復(fù)雜度為O(N)，精度大約可以在O(1/N1/2)，并且是和維度無關(guān)的。

60年代的時(shí)候，學(xué)者就對低偏差序列做了很多的研究，并且證明了非隨機(jī)的分布可以達(dá)到O(1/N)的精確度(維度之間可能有小的相關(guān)性)。如今，一旦需要用到隨機(jī)數(shù)，低偏差序列還是一個(gè)十分有用的工具，也普遍用在了期權(quán)定價(jià)領(lǐng)域。

1990年初，許多學(xué)者(Cheyette,Barrett, Moore, Wilmott等)延續(xù)了之前的成就成果，進(jìn)一步對多資產(chǎn)期權(quán)定價(jià)問題進(jìn)行研究，他們將數(shù)論的知識應(yīng)用到金融領(lǐng)域。在他們的研究成果公開之后的幾年內(nèi)，哥倫比亞大學(xué)一個(gè)不相關(guān)的組織將這些工作申請了專利。

期權(quán)動態(tài)對沖

至此，期權(quán)定價(jià)已經(jīng)出現(xiàn)了大量的理論計(jì)算方法，也在不斷地修正和完善，但和實(shí)踐的結(jié)合始終還是不夠緊密。1996年Marco Avellaneda，Antonio Paras， Arnon Levy 和Terry Lyons取得了突破，提出期權(quán)定價(jià)不確定波動模型。

這是一個(gè)非線性的模型，看似很像BSM的微分方程，但是輸入的波動率是不同的，它是由V的凸性，也就是V對S的二階偏導(dǎo)數(shù)決定。

在他們的理論出現(xiàn)之前，期權(quán)定價(jià)的唯一結(jié)論就是價(jià)值和delta值，所謂動態(tài)對沖也只是理論上可行，而這一模型的出現(xiàn)使得理論向?qū)嵺`又邁進(jìn)了一步。另外一個(gè)重要的結(jié)論就是交易所交易期權(quán)的理論價(jià)格就是它的市場價(jià)格，這使復(fù)雜的波動率曲面模型顯得有些多余。

BGM模型

盡管HJM利率模型解決了隨機(jī)即期利率模型及其相關(guān)的問題，但它依然有兩個(gè)主要的缺陷：模型所需的即期利率是真實(shí)存在的；它假設(shè)了遠(yuǎn)期利率的連續(xù)分布。1997年，Alan Brace，Dariusz Gatarek 和Marek Musiela基于實(shí)際交易的離散的利率，提出了新的BGM模型。該模型只依賴于可觀測的利率：遠(yuǎn)期LIBOR利率。同時(shí)BGM模型和BSM模型具有一致性，是后者的完善和補(bǔ)充。

其中：

L(t , Tn ,Tn+1)是遠(yuǎn)期LIBOR利率

Wt是d維布朗運(yùn)動，λn(t)是波動率，μt是漂移

CDO定價(jià)

1990年代初，信用衍生工具開始爆發(fā)，典型的代表是CDO；而另一方面，由于違約涉及到多個(gè)參與者，定價(jià)的模型非常復(fù)雜。寫到這兒，終于有一位在quant界產(chǎn)生一定影響力的華人了。

在CDO 以數(shù)以百萬計(jì)的次級住房按揭貸款構(gòu)成的資產(chǎn)池（asset pool ）為基礎(chǔ)被發(fā)明出來時(shí)，人們認(rèn)為最大的風(fēng)險(xiǎn)在于違約率難以計(jì)算。因?yàn)樽》窟`約不同于其他形式的小概率事件的債務(wù)違約，房價(jià)下跌會在不同程度和不同時(shí)間影響一大批人。

購房者每月集體償還的現(xiàn)金量是已獲再融資的購房人的數(shù)量和因違約而未還款人的數(shù)量的函數(shù)，當(dāng)然還有許多其他變量參數(shù)，因此投資不存在保證性的確定利率。過去華爾街投行們?yōu)榱私鉀Q這一問題而將CDO 資產(chǎn)按違約可能性劃分為不同等級（tranches）的方法并不完善，評級機(jī)構(gòu)對于此類債券的AAA 評級也存有很大風(fēng)險(xiǎn)。

David Li（中文名李祥林）的貢獻(xiàn)便是將所有的變量進(jìn)行相關(guān)性的量化分析，簡單地說就是計(jì)算一下一旦一個(gè)購房人還款違約，周圍鄰居違約的可能性有多大，進(jìn)一步擴(kuò)展到再周圍的人。當(dāng)然他真正研究對象要比這個(gè)范圍寬泛很多，這里只是一個(gè)例子。度量相互之間關(guān)聯(lián)性及關(guān)聯(lián)性程度的高低是確定按揭貸款債務(wù)風(fēng)險(xiǎn)大小的重要部分。以下兩個(gè)公式是常用的Copula函數(shù)：

SABR模型

一直以來，對于模型的需求都是計(jì)算快速、并且接近市場價(jià)格。Deep Kumar，Andrew Lesniewski 和Diana Woodward提出了隨機(jī)波動率模型，用來描述衍生品市場的波動率微笑。SABR這個(gè)詞是stochastic， alpha， beta， rho的縮寫，代表了模型的參數(shù)。

這個(gè)模型通過逼近的方式，避免了數(shù)值計(jì)算的過程，并且可以得到很高的精度。雖然逼近的方法在金融領(lǐng)域中曾經(jīng)使用過（比如交易成本的建模），但這是第一次在主流的量化金融領(lǐng)域里面使用。