高頻數(shù)據(jù)大多“罔不因勢象形，各具情態(tài)”，其中就包括數(shù)據(jù)非等間距問題。我們?yōu)榱丝朔@些irregularities，我們就要對數(shù)據(jù)重新表示（re-representation）。

高頻價格數(shù)據(jù)的非等間距問題是首當(dāng)其沖要解決的。解決的辦法一般就是resampling。比如可以自己定義一個時間間隔（segment），重新抽樣。這時候的抽樣可以直接取用截點的數(shù)據(jù)（如圖1），或者取每個間隔內(nèi)數(shù)據(jù)的均值（如圖2），根據(jù)你的具體情況而定。還有也可以使用線性插值法（linear interpolation）。

圖一

圖二

上面提到的方法還僅限于高頻時間序列在時域（time domain）中的重新表示，但哪怕我們使用的是等間隔的高頻收盤價數(shù)據(jù)，如果間隔做得比較小，數(shù)據(jù)的噪聲仍然是不可避免的，這就涉及一個頻域（frequency domain）的問題。那么對數(shù)據(jù)做去噪（de-noisying）或者平滑（smoothing）是一個很直接的做法。比如小波去噪（wavelet de-noising）后再做協(xié)整檢驗。或者更學(xué)術(shù)的做法是使用離散小波變換（DWT）把低頻方差和高頻方差分解開來，然后把低頻和高頻的小波系數(shù)留下來，將其納入到協(xié)整檢驗中來，成為一個專用于高頻數(shù)據(jù)協(xié)整檢驗的算法。

其實，高頻數(shù)據(jù)更有利用價值的還是order book。這類數(shù)據(jù)要是不去研究利用就太可惜了。與價格、成交量之類的time-series不同，order book這類sequence數(shù)據(jù)并不需要設(shè)置抽樣點，而是直接把每個時間點上的數(shù)據(jù)當(dāng)作一個事件，設(shè)定或者擬合一個針對這些事件序列（event sequences）的概率分布。比如著名的Rama Cont[注2]就把order arrival設(shè)定為服從泊松分布，每次order arrival都是獨立的，order arrival rate則服從指數(shù)分布。

當(dāng)然如果你有簡化數(shù)據(jù)的需要，也可以提取關(guān)鍵數(shù)據(jù)點，只是這些關(guān)鍵數(shù)據(jù)點不需要是等間隔的。（如圖3）

圖3

按照上述方法處理好高頻數(shù)據(jù)后，將協(xié)整[注1]的配對股票構(gòu)建一個contingent order，以兩者的mid-price之差作為spread，觸發(fā)交易信號的閾值也可以沿用你習(xí)慣的方法來計算?？傊?，在中低頻統(tǒng)計套利中常用的entry-exit strategy都可以作為一個框架拿過來使用，無需贅言。

但任何高頻的交易環(huán)境下的問題都可以成為這個高頻統(tǒng)計套利策略的問題，其中最突出的問題之一就是滑點。我聽說有人做過測試，如果每次成交都增加一個tick的滑點，全年的收益就沒了。

那么這時候我們可不可以再研究研究order book的變化規(guī)律，特別是其中bid/ask的變化規(guī)律，摸索出一種計算在mid-price變動之前，配對股票的bid/ask上的orders得到執(zhí)行的概率，然后根據(jù)這些概率判斷剛剛觸發(fā)的交易信號能否得到執(zhí)行。這樣也同時可以規(guī)避那些bid-ask價差過大的情況。

我們知道order book的變化就來源于每個價位上的市價單、限價單和撤單指令的flow，每個flow都可以看作一個counting process。有很多實證研究表明，order arrival rate與之到bid/ask的距離有關(guān)。Rama Cont[注2]把每個價位上的未成交訂單的數(shù)量的變化規(guī)律看作一個birth-death process，其中每一個event（包括市價單、限價單和撤單指令）都是獨立泊松過程：

其中D(·)為death process，xt*θ(p)代表order cancellation rate，μ代表market order arrival rate，B(·)為birth process，λ(p)代表limit order arrival rate，p代表對應(yīng)的價格。為了建模的簡便，我們假設(shè)每一個未成交訂單被取消的概率都是相等的，也是獨立的。

然后就可以用Monte Carlo模擬出在mid-price變動之前，配對股票的bid/ask上的orders得到執(zhí)行的概率。與此同時，因為這個birth-death process是可以有解析解的，所以Rama Cont用拉普拉斯變換求逆推導(dǎo)出這個概率。推導(dǎo)過程比較復(fù)雜，就不寫出來了。做個回測，兩種方法得到的結(jié)果相近（詳見[注2]）

（數(shù)值模擬得到的結(jié)果）

（拉普拉斯變換得到的結(jié)果）

分別對你的配對股票求取這個概率。當(dāng)概率高于你預(yù)設(shè)的閾值時，這次交易可以認(rèn)定為在mid-price變動之前，bid/ask order可以得到執(zhí)行，故以限價單分別以bid/ask價位執(zhí)行建倉。平倉同理。

Rama Cont的模型見仁見智。有的人認(rèn)為太復(fù)雜，也有的人覺得太粗糙。譬如Rama Cont把order arrival看作泊松過程，order duration服從指數(shù)分布。但泊松過程太粗糙了，隨便拿出一個log化的概率分布根本不成線性的，而且如果對log(duration)做一個自相關(guān)系數(shù)圖，你會發(fā)現(xiàn)是拖尾的，也就是個AR過程。另外，等概率的馬爾科夫鏈的假設(shè)也很粗糙，與現(xiàn)實的擬合不足，模擬出的概率可信度不足。而且為了追求有解析解而搞這么復(fù)雜的數(shù)學(xué)推導(dǎo)又顯得有點沒必要，畢竟Monte Carlo模擬在這里也不難實現(xiàn)。

其實沿著Rama Cont的思路，你完全可以將模型簡化成一個在技術(shù)上沒有難度的線性模型，最多加一個時變特征。比如你掌握著order book的當(dāng)前狀態(tài)，并且知道下一狀態(tài)有固定且有限種可能，那么僅取決于哪一種order會先到。所以直接對order arrival rate建模，也就是λ(·)，比如像這樣一個加入時變特征的線性模型：，分別按照limit/market/cancel、buy/sell、每個quote的價格到當(dāng)前bid/ask的距離建模。然后計算λ(·)就變成一個工程問題了，無論是怎樣做特征工程，還是選擇怎樣的回歸算法。因子可以有arrival rate的滯后項，波動率因子如VIX指數(shù)，動量因子如過去若干的tick/second的漲幅，還可以有微觀結(jié)構(gòu)因子如bid-ask imbalance，如此等等?；貧w算法可以先選擇線性回歸，主要就看Lp regularization的設(shè)置了。

最后總結(jié)一下吧：

1）拿高頻數(shù)據(jù)做協(xié)整，肯定要先做預(yù)處理，主要思路就是本文前半部分所說。但這不是難點；

2）難點之一還在于構(gòu)建統(tǒng)計套利的協(xié)整組合，無論是把小波系數(shù)納入?yún)f(xié)整檢驗，還是用合適的生成模型或者manifold做個映射什么的，總之要做好你的仿射變換，這就要考察你對策略的理解和設(shè)計了；

3）對統(tǒng)計套利這種交易時機敏感型的策略，高頻環(huán)境下指令的執(zhí)行就是難點之二。解決這個問題可以有非常多的算法和技術(shù)，比如很多人著急他們的機器學(xué)習(xí)怎么用在交易上，這不就是個好去處嘛。Rama Cont的模型只做個參考就好。但不妨可以把Rama Cont的模型作為一個發(fā)凡起例的入門思路，多發(fā)掘order book里面新的stylized facts。借助你對市場的觀察，開發(fā)你的交易執(zhí)行模塊，才是最好的。

注1：我這里所指的“協(xié)整”，不一定是時間序列教材里看到的若干種協(xié)整檢驗。在統(tǒng)計套利的語境下，協(xié)整有著更嚴(yán)格的內(nèi)含和更豐富的外延?？傊憧梢愿鶕?jù)你對模型和數(shù)據(jù)的探索，做出某種仿射變換，構(gòu)建你的協(xié)整組合。

注2：來自于 Cont, Stoikov and Talreja, A stochastic model for order book dynamics