本文將對《對黑天鵝和極端損失的建?！芬晃闹械臄?shù)據(jù)進行繼續(xù)分析，研究極端損失在整個標普500股票交易中的時間分布。在這之前，我們的興趣，首先是對于特定的股票在特定的時間區(qū)間可能出現(xiàn)的最大損失；其次，是繪制出這些極端損失的分布（找出可以用Gumbel分布進行很好的擬合）。研究這些損失可能發(fā)生的時間窗口能為我們提供一個額外的優(yōu)勢，甚至還可以發(fā)現(xiàn)一些關于黑天鵝數(shù)量的新信息。

對于數(shù)據(jù)分析來說，一個極好的方法就是通過時間序列分析。那么，在我們的這個案例中，數(shù)據(jù)分析是什么呢？我們是否可以通過編程來實現(xiàn)或是直接把它嵌入專用的數(shù)據(jù)分析軟件？兩種方法都是可行的。

通過時間序列分析，我們可以理解一個給定的變量在特定時間的行為，例如，外匯市場中交易資產的價格。如果我們觀察一個重復性的結構，或序列，或形狀，將有助于我們將這些認識編入交易平臺。獲取數(shù)據(jù)中隱含波動率的最基本的模式是顯而易見的：一個正弦波。正弦模式隨處可見，因此，重要是我們需要知道如何找到它。

在定量金融和風險建模中，周期性構成了一個對波動率很有吸引力且簡單的模型。為了能夠找出我們給定數(shù)據(jù)所隱含的光譜特征頻率，我們可能需要使用適當?shù)墓ぞ?。在時間序列分析中，這個工具被稱為周期圖。

黑天鵝的年度遷徙路線

我們的目標是對之前一篇文章《對黑天鵝和極端損失的建?！分兴崛〕鰜淼年P于極端損失的數(shù)據(jù)進行再分析。首先，我們提取出每只股票的最大損失，并將它們用矩陣存儲成Matlab數(shù)據(jù)，如下所示：

收集數(shù)據(jù)的可視化為我們提供了一個分析極端損失（黑天鵝事件）時間分布的新維度。所分析數(shù)據(jù)為對應的標準500在1984年1月3日至2011年3月8日的數(shù)據(jù)。

所有個股的最大損失用點標記出現(xiàn)。在Gumbel分布分析中，我們發(fā)現(xiàn)，期望值為-22.6%，肥尾延伸至-98%。改變一下我們的數(shù)據(jù)形式，我們把這些點連起來形成一個新的時間序列xi (i=1,…,n=954)。從這個角度看，我們可以在不同方向繼續(xù)我們的分析。讓我們看一個特定的案例：年平均最大損失與時間的函數(shù)。這個方法在McNeil，F(xiàn)rey，and Embrechts的《量化風險管理》（Quantitative Risk Management）一書中有推薦，利用最大值方法找到壓力測試情況下的收益水平。我們通過將時間序列{xi}和新時間步長252（交易）日進行重組來實現(xiàn)這些想法。

并允許在數(shù)據(jù)之間進行插值：

得到結果為：

接下來，基于非插值數(shù)據(jù)，我們計算傅里葉功率譜（Fourierpower spectrum，修正后的LS周期圖）如下：

得到結果如下：

很明顯，這個周期圖是基于固定的頻率來計算的Δν=1/T=0.000104[1/d]。峰值對應于時間序列中檢測到的正弦調制，周期等于1/0.001462或684天。最大允許的奈奎斯特頻率是1 /(2Δt)或0.00198(1/ d)。說實話，這個圖是比較糟糕的。為了改善其質量，可以在時間序列光譜分析中使用過采樣，采用固定頻率網(wǎng)格，步長Δν=1/(kT)，其中k表示過采樣因子。為什么我們需要過采樣？其中一個原因是：找到盡可能準確的周期值。

讓我們看看mhAoV周期圖在實踐中是如何處理這個任務的。mhAoV源代碼可以直接從Alex的網(wǎng)頁下載（用Fortran 95和Python編寫）。讓我們首先在外部文件rdata.dat中存儲重組數(shù)據(jù)（以252天為步長）:

接下來，我們將計算aov周期圖：

即使用一個包含正弦曲線（nh=1）的模型，過采樣的頻率為k=5（fos）。mhAoV出現(xiàn)的最大值Θ=5.537對應周期為678天。擬合的年度數(shù)據(jù)模型定義為：

f(t)=c+Asin(2πt/P–gπ)

我們得到P1=678天，振幅的估計值為A1=0.12，g1=0.79，最優(yōu)擬合圖如下圖所示：

模型雖然不完美，但是為我們提供了隱含的正弦周期模式，在1984年至2011年期間至少60%吻合這個特征。這是一個非常有意思的結果，盡管以下計算顯示，這種周期性的顯著性只有9%。

模型的一種改進辦法是，我們可以通過基于時間的函數(shù)，即A1(t)來得到振幅的變化。這個可以通過計算連續(xù)小波變換的小波分析來實現(xiàn)。

結論

約瑟夫傅里葉的時間序列分析方法允許我們可以檢測，是否存在黑天鵝年度遷徙的定期模式。對應一個非常低的概率，我們發(fā)現(xiàn)這個周期性趨勢為每678天重復一次。接下來，我們是否能預測在單個股票上可能出現(xiàn)的下一個極端損失密度？現(xiàn)在有了現(xiàn)代時間序列分析的強大工具，我們總是可以驗證這些假設的。

附：

1. 時間序列的修正LS（Modified Lomb-Scargle）在Matlab中的實現(xiàn)

2. 計算mhAoV周期圖峰值顯著性的Matlab函數(shù)