本文將對(duì)《對(duì)黑天鵝和極端損失的建?！芬晃闹械臄?shù)據(jù)進(jìn)行繼續(xù)分析，研究極端損失在整個(gè)標(biāo)普500股票交易中的時(shí)間分布。在這之前，我們的興趣，首先是對(duì)于特定的股票在特定的時(shí)間區(qū)間可能出現(xiàn)的最大損失；其次，是繪制出這些極端損失的分布（找出可以用Gumbel分布進(jìn)行很好的擬合）。研究這些損失可能發(fā)生的時(shí)間窗口能為我們提供一個(gè)額外的優(yōu)勢(shì)，甚至還可以發(fā)現(xiàn)一些關(guān)于黑天鵝數(shù)量的新信息。

對(duì)于數(shù)據(jù)分析來(lái)說(shuō)，一個(gè)極好的方法就是通過(guò)時(shí)間序列分析。那么，在我們的這個(gè)案例中，數(shù)據(jù)分析是什么呢？我們是否可以通過(guò)編程來(lái)實(shí)現(xiàn)或是直接把它嵌入專(zhuān)用的數(shù)據(jù)分析軟件？?jī)煞N方法都是可行的。

通過(guò)時(shí)間序列分析，我們可以理解一個(gè)給定的變量在特定時(shí)間的行為，例如，外匯市場(chǎng)中交易資產(chǎn)的價(jià)格。如果我們觀察一個(gè)重復(fù)性的結(jié)構(gòu)，或序列，或形狀，將有助于我們將這些認(rèn)識(shí)編入交易平臺(tái)。獲取數(shù)據(jù)中隱含波動(dòng)率的最基本的模式是顯而易見(jiàn)的：一個(gè)正弦波。正弦模式隨處可見(jiàn)，因此，重要是我們需要知道如何找到它。

在定量金融和風(fēng)險(xiǎn)建模中，周期性構(gòu)成了一個(gè)對(duì)波動(dòng)率很有吸引力且簡(jiǎn)單的模型。為了能夠找出我們給定數(shù)據(jù)所隱含的光譜特征頻率，我們可能需要使用適當(dāng)?shù)墓ぞ摺Ｔ跁r(shí)間序列分析中，這個(gè)工具被稱(chēng)為周期圖。

黑天鵝的年度遷徙路線

我們的目標(biāo)是對(duì)之前一篇文章《對(duì)黑天鵝和極端損失的建?！分兴崛〕鰜?lái)的關(guān)于極端損失的數(shù)據(jù)進(jìn)行再分析。首先，我們提取出每只股票的最大損失，并將它們用矩陣存儲(chǔ)成Matlab數(shù)據(jù)，如下所示：

收集數(shù)據(jù)的可視化為我們提供了一個(gè)分析極端損失（黑天鵝事件）時(shí)間分布的新維度。所分析數(shù)據(jù)為對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)500在1984年1月3日至2011年3月8日的數(shù)據(jù)。

所有個(gè)股的最大損失用點(diǎn)標(biāo)記出現(xiàn)。在Gumbel分布分析中，我們發(fā)現(xiàn)，期望值為-22.6%，肥尾延伸至-98%。改變一下我們的數(shù)據(jù)形式，我們把這些點(diǎn)連起來(lái)形成一個(gè)新的時(shí)間序列xi (i=1,…,n=954)。從這個(gè)角度看，我們可以在不同方向繼續(xù)我們的分析。讓我們看一個(gè)特定的案例：年平均最大損失與時(shí)間的函數(shù)。這個(gè)方法在McNeil，F(xiàn)rey，and Embrechts的《量化風(fēng)險(xiǎn)管理》（Quantitative Risk Management）一書(shū)中有推薦，利用最大值方法找到壓力測(cè)試情況下的收益水平。我們通過(guò)將時(shí)間序列{xi}和新時(shí)間步長(zhǎng)252（交易）日進(jìn)行重組來(lái)實(shí)現(xiàn)這些想法。

并允許在數(shù)據(jù)之間進(jìn)行插值：

得到結(jié)果為：

接下來(lái)，基于非插值數(shù)據(jù)，我們計(jì)算傅里葉功率譜（Fourierpower spectrum，修正后的LS周期圖）如下：

得到結(jié)果如下：

很明顯，這個(gè)周期圖是基于固定的頻率來(lái)計(jì)算的Δν=1/T=0.000104[1/d]。峰值對(duì)應(yīng)于時(shí)間序列中檢測(cè)到的正弦調(diào)制，周期等于1/0.001462或684天。最大允許的奈奎斯特頻率是1 /(2Δt)或0.00198(1/ d)。說(shuō)實(shí)話，這個(gè)圖是比較糟糕的。為了改善其質(zhì)量，可以在時(shí)間序列光譜分析中使用過(guò)采樣，采用固定頻率網(wǎng)格，步長(zhǎng)Δν=1/(kT)，其中k表示過(guò)采樣因子。為什么我們需要過(guò)采樣？其中一個(gè)原因是：找到盡可能準(zhǔn)確的周期值。

讓我們看看mhAoV周期圖在實(shí)踐中是如何處理這個(gè)任務(wù)的。mhAoV源代碼可以直接從Alex的網(wǎng)頁(yè)下載（用Fortran 95和Python編寫(xiě)）。讓我們首先在外部文件rdata.dat中存儲(chǔ)重組數(shù)據(jù)（以252天為步長(zhǎng)）:

接下來(lái)，我們將計(jì)算aov周期圖：

即使用一個(gè)包含正弦曲線（nh=1）的模型，過(guò)采樣的頻率為k=5（fos）。mhAoV出現(xiàn)的最大值Θ=5.537對(duì)應(yīng)周期為678天。擬合的年度數(shù)據(jù)模型定義為：

f(t)=c+Asin(2πt/P–gπ)

我們得到P1=678天，振幅的估計(jì)值為A1=0.12，g1=0.79，最優(yōu)擬合圖如下圖所示：

模型雖然不完美，但是為我們提供了隱含的正弦周期模式，在1984年至2011年期間至少60%吻合這個(gè)特征。這是一個(gè)非常有意思的結(jié)果，盡管以下計(jì)算顯示，這種周期性的顯著性只有9%。

模型的一種改進(jìn)辦法是，我們可以通過(guò)基于時(shí)間的函數(shù)，即A1(t)來(lái)得到振幅的變化。這個(gè)可以通過(guò)計(jì)算連續(xù)小波變換的小波分析來(lái)實(shí)現(xiàn)。

結(jié)論

約瑟夫傅里葉的時(shí)間序列分析方法允許我們可以檢測(cè)，是否存在黑天鵝年度遷徙的定期模式。對(duì)應(yīng)一個(gè)非常低的概率，我們發(fā)現(xiàn)這個(gè)周期性趨勢(shì)為每678天重復(fù)一次。接下來(lái)，我們是否能預(yù)測(cè)在單個(gè)股票上可能出現(xiàn)的下一個(gè)極端損失密度？現(xiàn)在有了現(xiàn)代時(shí)間序列分析的強(qiáng)大工具，我們總是可以驗(yàn)證這些假設(shè)的。

附：

1. 時(shí)間序列的修正LS（Modified Lomb-Scargle）在Matlab中的實(shí)現(xiàn)

2. 計(jì)算mhAoV周期圖峰值顯著性的Matlab函數(shù)